ポートフォリオ変動性計算機
投資ポートフォリオの変動性（ボラティリティ）を計算するツール。分散、共分散、ワイヤドの数学的基礎を解説します。
ポートフォリオ変動性計算機
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ポートフォリオ変動性とは
ポートフォリオ変動性（ボラティリティ）とは、投資ポートフォリオのリターンがどれだけ上下するかを示すリスクのスケール。統計的にはリターンの標準偏差として定義され、ポートフォリオのリスクを測る最重要指標の一つです。数字が小さければ穏やか、大きければ激しい。マーケットの鼓動を数値に落とし込んだものです。
分散投資の効果を正確に把握し、適切なリスク管理を行うために、ポートフォリオの変動性を理解することは極めて重要です。
娘の担任教師の田口さんが退職金の運用について相談に来ました。「株と債券を半分ずつ持ったらリスクが分散されるって本当？」と。相関係数が1未満であれば、确实に個々資産の加重平均より低いボラティリティで運用できると説明すると、「つまり、卵を一つのカゴに入れるなってことか」と納得していました。この分散の効果を数値で理解することが、賢い投資の出発点です。
数学的基礎
ワイヤドの公式
ポートフォリオの変動性は、ワイヤドの公式（Markowitz, 1952）を使用して計算されます。
$$\sigma_p^2 = w^T \Sigma w = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} w_i w_j \sigma_{ij}$$
ここで：
- $\sigma_p^2$：ポートフォリオの分散
- $w$：重み（配分比率）のベクトル
- $\Sigma$：共分散行列
- $w_i, w_j$：各資産の重み
- $\sigma_{ij}$：資産 $i$ と $j$ の共分散
分散の展開式
2資産のポートフォリオの場合：
$$\sigma_p^2 = w_1^2 \sigma_1^2 + w_2^2 \sigma_2^2 + 2 w_1 w_2 \sigma_1 \sigma_2 \rho_{12}$$
ここで、$\rho_{12}$ は2資産間の相関係数です。
相関係数と分散効果
相関係数 $\rho$ が1未満の場合、分散投資によりポートフォリオ全体のリスクを個々の資産のリスクの加重平均より低く抑えることができます。
$$\sigma_p < w_1 \sigma_1 + w_2 \sigma_2 \quad (\text{when } \rho < 1)$$
計算のステップ
1. リターンの計算
各資産の日次リターンを計算します。
$$r_t = \frac{P_t - P_{t-1}}{P_{t-1}}$$
2. 共分散行列の構築
共分散行列 $\Sigma$ は、以下の要素で構成されます。
$$\Sigma = \begin{pmatrix} \sigma_1^2 & \sigma_{12} & \cdots & \sigma_{1n} \\ \sigma_{21} & \sigma_2^2 & \cdots & \sigma_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sigma_{n1} & \sigma_{n2} & \cdots & \sigma_n^2 \end{pmatrix}$$
共分散の計算式：
$$\sigma_{ij} = \frac{1}{T-1} \sum_{t=1}^{T} (r_{i,t} - \bar{r}_i)(r_{j,t} - \bar{r}_j)$$
3. ポートフォリオ変動性の算出
ワイヤドの公式を適用して、ポートフォリオの変動性を算出します。
$$\sigma_p = \sqrt{w^T \Sigma w}$$
具体例
設定
2資産のポートフォリオ：
- 株式A：配分50%、ボラティリティ20%
- 株式B：配分50%、ボラティリティ15%
- 相関係数：0.3
計算
$$\sigma_p^2 = (0.5)^2(0.20)^2 + (0.5)^2(0.15)^2 + 2(0.5)(0.5)(0.20)(0.15)(0.3)$$
$$= 0.01 + 0.005625 + 0.0045 = 0.020125$$
$$\sigma_p = \sqrt{0.020125} \approx 14.2\%$$
個々の資産のボラティリティの加重平均は17.5%ですが、分散効果によりポートフォリオ全体のボラティリティは14.2%に低減しています。
実用的アプリケーション
最適化
ポートフォリオの変動性を最小化する重みを求めるには、以下の制約付き最適化問題を解きます。
目的関数:
$$\min_w \quad w^T \Sigma w$$
制約:
$$\sum_{i=1}^{n} w_i = 1, \quad w_i \geq 0$$
リスクパリティ
リスクパリティ戦略では、各資産がポートフォリオのリスクに等しく貢献するように配分を決定します。
$$w_i \times \frac{\partial \sigma_p}{\partial w_i} = \text{const.}$$
まとめ
ポートフォリオ変動性計算機は、投資のリスクを数字で語らせる貴重なツール。ワイヤドの公式に基づき、分散投資がいかにリスクを削減するかを示してくれます。データと向き合い、冷静に判断する——それこそが、長期的な投資成功の秘訣でしょう。